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卷积的物理意义是什么?

归档日期:06-06       文本归类:发散束卷积法      文章编辑:爱尚语录

  小明存入100元钱,年利率是5%,按复利计算(即将每一年所获利息加入本金,以计算下一年的利息),那么在五年之后他能拿到的钱数是

  将这笔钱存入银行的一年之后,小明又往银行中存入了100元钱,年利率仍为5%,那么这笔钱按复利计算,到了第五年,将收回的钱数是

  以此类推,如果小明每年都往银行中存入新的100元钱,那么这个收益表格将是这样的:

  可见,最终小明拿到的钱将等于他各年存入的钱分别计算复利之后得到的钱数的总和,即:

  为了更清晰地看到这一点,我们将这个公式推广到连续的情况,也就是说,小明在从

  相信通过上面这个例子,大家应该能够很清晰地记住卷积公式了。下面我们再展开说两句:

  比如说你的老板命令你干活,你却到楼下打台球去了,后来被老板发现,他非常气愤,扇了你一巴掌(注意,这就是输入信号,脉冲),于是你的脸上会渐渐地(贱贱地)鼓起来一个包,你的脸就是一个系统,而鼓起来的包就是你的脸对巴掌的响应,好,这样就和信号系统建立起来意义对应的联系。下面还需要一些假设来保证论证的严谨:假定你的脸是线性时不变系统,也就是说,无论什么时候老板打你一巴掌,打在你脸的同一位置(这似乎要求你的脸足够光滑,如果你说你长了很多青春痘,甚至整个脸皮处处连续处处不可导,那难度太大了,我就无话可说了哈哈),你的脸上总是会在相同的时间间隔内鼓起来一个相同高度的包来,并且假定以鼓起来的包的大小作为系统输出。好了,那么,下面可以进入核心内容——卷积了!

  如果你每天都到地下去打台球,那么老板每天都要扇你一巴掌,不过当老板打你一巴掌后,你5分钟就消肿了,所以时间长了,你甚至就适应这种生活了……如果有一天,老板忍无可忍,以0.5秒的间隔开始不间断的扇你的过程,这样问题就来了,第一次扇你鼓起来的包还没消肿,第二个巴掌就来了,你脸上的包就可能鼓起来两倍高,老板不断扇你,脉冲不断作用在你脸上,效果不断叠加了,这样这些效果就可以求和了,结果就是你脸上的包的高度随时间变化的一个函数了(注意理解);如果老板再狠一点,频率越来越高,以至于你都辨别不清时间间隔了,那么,求和就变成积分了。可以这样理解,在这个过程中的某一固定的时刻,你的脸上的包的鼓起程度和什么有关呢?和之前每次打你都有关!但是各次的贡献是不一样的,越早打的巴掌,贡献越小,所以这就是说,某一时刻的输出是之前很多次输入乘以各自的衰减系数之后的叠加而形成某一点的输出,然后再把不同时刻的输出点放在一起,形成一个函数,这就是卷积,卷积之后的函数就是你脸上的包的大小随时间变化的函数。本来你的包几分钟就可以消肿,可是如果连续打,几个小时也消不了肿了,这难道不是一种平滑过程么?反映到剑桥大学的公式上,f(a)就是第a个巴掌,g(x-a)就是第a个巴掌在x时刻的作用程度,乘起来再叠加就ok了,大家说是不是这个道理呢?我想这个例子已经非常形象了,你对卷积有了更加具体深刻的了解了吗?

  那如果连着扔好多块呢?产生的水波就是一个个石头产生的水波的叠加吧。(图不画了自己脑补吧╮(╯_╰)╭)只是这时候因为扔进去的石头有先后顺序,最近扔进去的那块石头对现在的水波影响比较大咯。(这就是g(t)要反一下的原因,g(t)在t=0处就是石头刚扔进去时候水的反应)

  这时候这一个个石头就是f(t),然后现在的水波,就是这一块块石头激起的水波的叠加,也就是f(t)与g(t)的

  ,只是这个时候f(t)是一个离散的函数罢了。看,因为我们扔石头是有先后的咯,所以产生的水波叠加实际上就是一个个有时间差的g(t)的简单叠加咯。

  那那...如果我们不扔石头了,我们...尿尿呢(/ω・\) ...尿尿也会激起水~~波~~荡~~漾~~吧 _(:3 」∠)_ ...你看我们尿尿的时候,水波会不停地产生呢...

  这时候呢,我们尿的尿就是一个f(t)了...如果我们尿尿的力道忽大忽小...那么f(t)就会一会变大一会变小。(所以我们可以尿出我们想要的函数f(t)...嗯 (。・`ω´・))然后这时候g(t)是什么呢。。。你可以理解为一滴尿液滴到水里产生的水波呢~~然后这忽大忽小的尿液,在湖里产生了连续不断的水波就是f(t)*g(t),卷积啦!

  (貌似暴露了我是一个男生这种事情...女生嘘嘘的时候应该不会观察水波吧...)

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  物理意义…不知楼主问的是不是卷积在信号系统中输入输出计算的意义。我觉得要想理解好卷积首先要理解好一个和线性代数相关的概念:线性映射。什么是线性映射呢?设想有个向量v通过某种映射可以从v得到w,记为w=T(v)如果对于任意v,T都满足线性代数里两条巨基本的性质:1)T(u+v)=T(u)+T(v)2) aT(v)=T(av)那么就称T是一个线性映射,其实就是简单的线性代数嘛所以如果我们把输入信号和输出信号分别和v和w对应起来的话,似乎就是个线性映射系统啊。当然实际上没有这么简单,还多了那么一点东西,所以在信号与系统里,叫做线性时不变(Linear Time-Invariant, LTI)系统。

  什么叫时不变呢?以冲击函数为例子说明一下,假设在t=0的位置上有个单位冲击,在某个LTI system中,造成的响应是在t=1到t=2区间上的某种曲线。

  时不变的意思就是如果把这个t=0上的单位冲击移动到任意时间点,比如t0去,那么响应的曲线也会响应地移动到t=t0+1到t=t0+2的位置上去。

  其实从不太严谨的线性代数角度也可以理解线性时不变系统,本质还是线性映射。比如考虑对如下对一个向量的变换:

  矩阵的特点是紧贴着对角线,得到的结果是x“向下移”了一个位置。如果我们在输入信号离散的时间轴上取一段,想象每个离散的时间点就是向量的一维,那么可以把这段信号看做一个向量,用一个同样大的具有如上特点的矩阵与这个向量相乘,得到的结果就是这个输入信号在时间轴上向后“移动了”一位,那么如果变换矩阵是如下的形式呢?

  可以看到,x移动了两个单位,这似乎就是时间轴上的移动操作啊。那如果变换矩阵再换换样子呢?

  是不是觉得眼熟,其实这种斜边元素相等形式的矩阵就是一个不严谨的简单的线性时不变系统。更不严谨地说,如果我们把每个时间点都理解成一个向量中的一维的话,矩阵乘法操作的本质就是将这个向量投射到对应的维上,并且矩阵中的每个向量的Norm就是投影之后的系数。

  总之,这就是线性时不变,说白了还是线性两个字最重要,于是,卷积求响应就很清晰了,就是简简单单的加法而已:已知冲激信号在输出中的响应的情况下,给定一个输入信号,只要把输入信号看成一个个时间点上的冲激信号的叠加,直接在输出的t时间点上把这所有冲激信号的响应简单加起来,就可以了。

  对应前面解释来看,其中f(τ)是输入信号在τ位置的值,也就是和单位冲激信号的比值,作为系数,而h(t-τ)则是距离t时刻τ那么多时间点上的一个冲激信号在t时刻所对应的响应。我这里说的都是离散情况举例,连续情况可以脑补推广。总之,不严谨地说,都是线性代数。

  此人吃下去的东西在肚里按指数衰减,即如果他肚子里现在有食物量 1,剩余量按消化时间的变化便是

  是Dirac脉冲函数。如果不熟悉的话,可以认为此人在饭点儿瞬间往肚子里塞那么多食物。

  其实在前面的讨论里面,我们把“吃饭的量”看作输入,“肚子里还剩的食物”看作输出。

  (Linear and Time-Invariant, LTI)系统里,上面的函数:

  /*-----------------------------------------------------------*/

  :其实咱吃饭不用那么急,一下子就揣肚子里。比如:这兄弟花了半小时吃饭,像这样:

  (过年的时候,每顿花三个小时,吃得多而且肠胃状态不那么好)上:吃法儿; 下:肚里食物量

  可以看到,这个峰值和最前面那种瞬间吃好饭的状况差不多了,而且过了半夜还没消化完。

  并且用线性时不变的模型来模拟人吃饭消化,可能有不妥,比如:人的胃不是线性的,因为有总容量的限制,而且估计也不是时不变,因为吃的太多时肚子消化能力大概会变弱。拿这个仅仅用于举例子咯。

  /*-----------------------------------------------------------*/

  只有线性时不变系统才能导出卷积公式,我们知道线性系统满足齐次性和叠加性,而时不变性其实是指系统的单位冲激响应无论什么时候都不变。实际上,在信号与系统中,卷积就是计算线性时不变系统在信号激励下任意时刻的零状态响应,为了更好理解卷积的物理意义,可以先看一个例子:当一个拳击选手遭到对方连续两次击打身体的同一部位时,第二次被击打时他感觉到的疼痛是第一次被击打所遗留的疼痛与第二次被击打的疼痛之和。下面的文字可能比较长,你要想真正理解卷积的物理意义,还需要你慢慢看完下面的数学推导。

  式(3.5-23)中的单位冲激响应h(t)出现了反褶,这与图3.5-4不符,图3.5-4中的每个加权的h(t)都没有反褶,所以,公式(3.5-23)与可实现的物理系统不符。另外,为了更全面一些,我们再看看离散系统:

  信号反褶是这样的:信号波形是我们按着信号脉冲出现的先后顺序记录下来的,所以信号波形的左边先出现,而信号反褶恰恰说明哪个信号脉冲先来,则这个脉冲就先进入系统,但是,在计算机上用软件进行科学计算时可以将系统单位冲激响应进行反褶,相应的,此系统可以看成非因果系统。

  上述内容是摘自我写的《信号与系统分析和应用》书中的几节内容,希望能对大家有所帮助,并请提出意见和建议。

  故事一:【转自人人】无意在网上看到这篇《大牛讲解信号与系统以及数字信号处理》

  这三个故事中,我觉得故事三最生动形象。大概的结论就是系统某一时刻的输出是由无数个单一输入共同作用(叠加)的结果。

  我主要学习的是离散时间信号的卷积(和)。我对卷积的理解主要来源于卷积的计算。冲击响应能够表征系统的特性,给定输入信号,通过计算卷积就能够获得输出信号。所以,卷积是定义LTI系统的一种方式。当然,我们还有其他描述系统的方法,例如从频域的角度。系统的频率响应可以告诉我们某个系统是一个低通滤波器或高通滤波器,但是频率响应并没有告诉我们怎么实现这个系统。但是根据卷积,我们可以写出计算机程序实现这个系统。因此,卷积也是一种计算机算法。

  比如信号与系统里,LTI系统的输出就是每个时刻的输入所产生的输出的叠加。

  τ时刻的输入是x(τ);τ时刻附近dτ时间的输入在t时刻产生的输出,就是把h(t)乘一个x(τ)dτ,再平移τ,就是x(τ)h(t-τ)dτ;把所有τ产生的输出叠加就是y(t)

  比如已知两个独立的随机变量X和Y的概率密度分布fx(x)和fy(y),求Z=X+Y的密度分布。

  考虑X=x的条件下Y=z-x的处概率密度,正是fy(z-x),由全概率公式,此时Z的概率密度就是所有x处fx(x)fy(z-x)叠加。

  上面两个例子也可以从傅里叶变换的角度理解,因为傅里叶变换有时域卷积性质。

  很多数学公式,为了简洁之美,省略了原来的推导过程,省略了本应该具有不同意义的子参数,而呈现给我们的就是几个字母加上几个符号。每一个公式的出现都应该有其演变过程的,所以当我们直接看其结果,不懂其意义的时候会觉得非常别扭,总感觉一种深深的不安。

  在大神们的基础上,简单说下我的理解。以辐射为例,一个人在核试验室工作,需要评定工伤,测量该人的受辐射量。我们假设评定的时间日期为t,人本身是一个系统,输入是每个工作时刻

  ),辐射量衰减函数为g(),但是衰减过程是和时间有关系的,这个时间关系是什么呢?当然是,你从受辐射到测量辐射这一过程的时间间隔(t-

  )。因此在某一时刻的输入(辐射)对于系统(人)的影响输出(体内辐射量)就是函数

  ,而我们现在需要统计当前日期 t 时刻的身体残留辐射量,所以要将以前所受辐射累加起来,得到卷积公式。前提是,人这一系统是线性时不变系统。欢迎大家批评指正。

  总体效果等于之前我扇的每个嘴巴子产生的效果在当下这一秒的状态的叠加,就是积分

  趋势来个积分。比如在 t 时刻,g 早输入的部分要对应 f 后面的部分。g 晚输入的要对应 f 前面的部分。

  不知道你想具体知道哪方面的。笼统的说 卷积可以计算随时间不断增加而增加的量或者减少的量

  作为提问者我想对排名第一的答案进行补充,就是正确的理解自然对数e的含义,我觉得理解之后才能更好的理解排名第一的答案。

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  我发现贴进来之后公式没了,请大家自动去看原文,最终的原文是英文版,有兴趣的同学直接走英文吧。

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  它不像π。大家都知道,π代表了圆的周长与直径之比3.14159,可是如果我问你,e代表了什么。你能回答吗?

  自然对数是以e为底的对数函数,e是一个无理数,约等于2.718281828。

  这就构成了循环定义,完全没有说e是什么。数学家选择这样一个无理数作为底数,还号称这种对数很自然,这难道不是很奇怪的事情吗?

  那么很显然,这种生物的数量,每天都会翻一倍。今天是1个,明天就是2个,后天就是4个。我们可以写出一个增长数量的公式:

  上式中的x就表示天数。这种生物在x天的总数,就是2的x次方。这个式子可以被改成下面这样:

  我们继续假定:每过12个小时,也就是分裂进行到一半的时候,新产生的那半个细胞已经可以再次分裂了。

  因此,一天24个小时可以分成两个阶段,每一个阶段都在前一个阶段的基础上增长50%。

  当这一天结束的时候,我们一共得到了2.25个细胞。其中,1个是原有的,1个是新生的,另外的0.25个是新生细胞分裂到一半的。

  如果我们继续修改假设,这种细胞每过8小时就具备独立分裂的能力,也就是将1天分成3个阶段。

  很自然地,如果我们进一步设想,这种分裂是连续不断进行的,新生细胞每分每秒都具备继续分裂的能力,那么一天最多可以得到多少个细胞呢?

  因此,当增长率为100%保持不变时,我们在单位时间内最多只能得到2.71828个细胞。数学家把这个数就称为e,它的含义是单位时间内,持续的翻倍增长所能达到的极限值。

  假定有一家银行,每年的复利是100%,请问存入100元,一年后可以拿多少钱?

  但是,实际生活中,银行的利息没有这么高,如果利息率只有5%,那么100元存一年可以拿到多少钱呢?

  上式的rate就代表增长率。这说明e可以用于任何增长率的计算,前提是它必须是持续不断的复合式增长。

  回到上面的例子,如果银行的利息率是5%的复利,请问100元存款翻倍需要多少时间?

  上式最后一个等号,表明用72除以增长率,可以得到翻倍的大致时间,这就是72法则的来源。

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